Beispielaufgaben Klausur 2 (Mathe)
Aus SchulWiki
Inhaltsverzeichnis |
Übung für die Klausur ( Nur LK )
Nr 1 Das Fass
Gegeben: h=1 ; rk=0,5m ; rg=0,8m
h = Höhe rk = Kleinster Radius rg = Größter Radius
Wir haben eine Funktion 3 Grades mit 3 unbekannten.
F(x)= ax^2+bx+c
1. F(0)=0,5 // Der Punkt auf der Y-Achse wo X=0
2. F(1)=0,5 // Der Punkt auf der Y-Achse wo X=1
3. F(0,5)=0,8 // Der Punkt der als Hochpunkt gilt.
Diese Werte gibt man in einem Gleichungssystem ein. 3 Gleichungen werden benötigt.
F1(0)= a0,5^2+b0,5+c
F2(1)= a0,5^2+b0,5+c
F3(0,5)= a0,8^2+b0,8+c
Dann lößt Ihr nach a,b,c auf und erhaltet folgendes.
a= - 6/5 ; b= 6/5 ; c= 1/2 =0,5
Diese setzt Ihr nun in der Grundgleichung ein.
F(x)=(-6/5)x^2+(6/5)x+0,5
Soo nun haben wir unsere Funktion, nun brauchen wir das Volumen ( =V ). Zunächst berechnen wir mit hilfe des Integrals die Fläche von der Funktion bis zur X-Achse. Danach wird diese rotiert.
(Das folgende Integral ist von 0 bis 1)
V= π * ∫ (F(x)= (-6/5)x^2+(6/5)x+0,5)^2 dx
V= (249 * π) / 500
V= 1,56 m³
Unser Ergebniss ist ein Volumen von 1,56m³
Nr 2 Produktdesign
Gegeben: l (Länge)= 45cm ; b (Breite)= 30cm
Extremalbedingungen: a*b*h h=x
a= (45-3x)/2 Man rechnet hier die Grundseite 45cm - die 3 Flächen (x). Als Ergebnis hat man die 2 Rechtecke auf der Oberseite. Da man eines nur braucht rechnet man das Ergebnis noch einmal durch 2. Nun haben wir das Ergebnis was wir brauchen, die Länge eines Rechteckes.
b= 30-2x Man rechnet hier die Grundseite 30cm - die 2 Flächen (x). Als Ergebnis bekommt man die länge des Rechteckes.
Nun setzen wir die Ergebnisse für a und b in die Extremalbedingung ein.
F(x)= ((45-3x)/2)*(30-2x)*x
Nun benötigen wir die Ableitung.
F'(x)= 9*(x-5)*(x-15)
Dies Lösen wir dann nach X auf und erhalten:
x1= 5 ; x2 = 15
5 ist hierbei für uns der wichtige Wert :).
Nun setzen wir die 5 in die Hauptfunktion F(x) ein.
F(x)= ((45-3*5)/2)*(30-2*5)*5 F(x)= '1500
1500 ist unser Ergebnis.
Aufgabe 3
A
F(x)= -x^2+4
Nullstellenberechnung: Setze die Grundfunktion =0. Als Ergebniss wirst du:
x1= -2 ; x2= 2 bekommen.
Nun die Volumenberechnung.
( Dieses Integral ist von -2 / 2 ) V= ∫ (F(x)= -x^2+4 ) dx
V= 32/3 FE = 10,67 FE = 10 2/3 FE
B
Die Höhe (h) im Dreieck ist 4 , die Breite (b) einer Seite des Dreiecks ist 2.
h= 4 ; b= 2 // h= a
A=((a*b)/2)*2 // a*b erstellt ein Rechteck um das Dreieck. /2 macht aus dem Rechteck ein Dreieck, und *2 macht nun ein 2tes Dreieck draus.
Die beiden 2en kann man wegstreichen. Es bleibt
A=a*b
A=2*4 = 8
A=8
Um nun den Flächeninhalt zwischen Parabel und Dreieck zu bekommen müssen wir die werte von einander abziehen.
10 2/3 - 8 = 2 2/3 FE
A= 2 2/3
10 2/3 = 100% // :32
1/3 = 3,125% // *8
2 2/3 = 25%
A.: 25% der Fläche sind nicht bedeckt.
C
F(x)= -x^2+9 H(x)= x^3+3x^2+3x+9
-x^2+9 = x^3+3x^2+3x+9
( Integral von -1 / 0 )
∫ -(F(x) - H(x)) dx
+
( Integral von -1 / -3 )
∫ -(H(x) - F(x)) dx
( 26/3 - 33/4 ) + ( 12 - 28/3 )
5/12 + 8/3 = 37/12
A= 37/12 = 3,08FE
D
Diese Aufgabe war nicht gefordert von Frau Bell
Aufgabe 4
A
- Die Fläche unter dem Graph von 0 - 2 ist Wasserzufluss
- Die Fläche über dem Graph von 2 - 8 ist Wasserabfluss
- Die Fläche unter dem Graph von 8 - 10 ist Wasserzufluss
- Durch die Pumpe nimmt der Wasserstand ab, hinzu kommt, dass der Regen nachlässt.
- Nach 5 wird der Regen wieder stärker und der Wasserstand nimmt wieder zu
B
H(x)= 0,5x^2+5x+8
(Interval von 0 - 2)
V2= ∫ (0,5x^2+5x+8)dx
V2= 22/3 FE
V2= 7,33FE
(Interval von 2 - 4,6277)
V4,6277= ∫ (0,5x^2+5x+8)dx
V4,6277= 14666501164689/2000000000000 = 7,33FE
V4,6277= 7,33FE-7,33FE = 0FE
(Interval von 2 - 8)
V10= ∫ (0,5x^2+5x+8)dx
V10= 18FE
(Interval von 8 - 10)
V10= ∫ (0,5x^2+5x+8)dx
V10= 22/3 FE = 7,33FE
V10= (7,33FE + 7,33FE)-18 = -(167/50)
V10= -(167/50) = -3,34 L
C
Im Zeitraum von 4,6277 - 8 gibt es noch einen wasser ablauf zu verzeichnen, der dann bei 8 - 10 in einen Wasserzulauf übergeht.
D
Wir haben bei B als Ergebnis einen Wert von -3,34FE erreicht. Dies bedeutet, das wir einen Wasserstand von 3,34 FE Volumen haben.
Dieses Ergebnis stimmt sich mit dem Graphen überein. Es passt zu dem, was der Graph zeigt.
Aufgabe 5
- In Arbeit
Aufgabe 6
A
Man hat 2 Punkte gegeben Q(0/3) und P(6/2) diese Punkte setzt man in die allgemeine Funktionsgleichung ein :
y=ax^2+c
1.Schritt :Erst einmal den Punkt Q in die Gleichung einsetzen ,dann kommt man auf 3=c
2.Schritt:dann setzt man auch den 2.ten Punkt ein und kommt auf die Gleichung 2=36a+3
man löst nach a auf und kommt auf a=-1/36 und c=3 y=-1/36x^2+3
B
Die Aufgabe ist es die Parabel um die x-Achse rotieren zu lassen , so dass ein Fass entsteht
das intervall geht von (-6,6).
π *∫ (f(x))^2
Wenn man die Grenzen eingesetzt hat kommt man auf π*432/5 und das wäre ein Volumen von V=271.433VE
