Binominalverteilung bei Zufallsgrößen
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Die Binominalverteilung bei Zufallsgrößen gibt an, auf welche Art sich die Zufallsgrößen verteilen. Es gibt zwei Methoden dies zu berechnen. Zunächst einmal müssen wir uns jedoch ins Gedächtnis rufen, welche Grundlagen wir benötigen.
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Grundlagen
Wir benötigen für das Anwenden der Formeln die Kenntnisse über die Bedeutung der verschiedenen Buchstaben, die in der Formel benutzt werden. (Algebra)
n: Gibt die Anzahl der Durchführungen eines Experiments an.
p: Gibt die Wahrscheinlichkeit für die Treffer an.
k: Gibt die Einzelwahrscheinlichkeit an, dass genau "k" Treffer vorkommen.
Formeln
Es gibt zwei Formeln zur Berechnung der Binominalverteilung, die eine berechnet wann mehr als k Treffer vorkommen die zweite berechnet wann höchstens k Treffer vorkommen.
Aufgereihte Wahrscheinlichkeit: (mehr als k Treffer)
P(x>k) = 1 - P(x≤k) = 1 - Fn;p (k)
Aufsumierte Wahrscheinlichkeit: (höchstens k Treffer)
P(x≤k) = Fn;p (k)
Fomeln für Derive
Derive ist ein Programm zum lösen komplexer Aufgabenstellungen.
Aufgereite Wahrscheinlichkeit: (mehr als k Treffer)
1 - binomial_distribution (k,n,p)
Aufsumierte Wahrscheinlichkeit: (höchstens k Treffer)
binomial_distribution (k,n,p)
Erklärung an einem Beispiel
Aufgabe: Eine Firma stellt Haartrockner her und garantiert das mindestens 975/1000 der ausgelieferten Geräte einwandfrei arbeiten. Die Haartrockner werden in Kartons zu je zehn Stück geliefert. Ein Großabnehmer der Geräte kontrolliert die Lieferung so: Sind in einem zufällig ausgewähltem Karton zwei oder mehr Geräte kaputt, so nimmt er die gesamte Lieferung nicht an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lehnt er die Lieferung ab, wenn die Herstellergarantie zutrifft?
Infos:
- 975/1000 Geräten sind in Ordnung
- 25/1000 Geräten sind kaputt
- Bei 2 oder mehr kaputten Geräten in einem Karton nimmt er die Ladung nicht mehr an
Rechnung:
P(x≤1)= 1-P(x≤1)= F10;25/1000 = 1 - 0,9753884979 = 0,02461150210 = 02,46%
Erklärung:
In einem Karton befinden sich immer nur 10 Geräte deswegen n=10 die Wahrscheinlichkeit das der Inspizierer ein kaputtes Gerät findet liegt bei 25/1000. Man rechnet 1- weil die eins für 100% steht, denn man will wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er die Ladung nicht annimmt. Das Ergebnis ist demnach 02,46%
